Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sin (20 x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{\sin (20 x)})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (20 x)}$ nach $\csc (20 x)$ um.

$\frac{d}{d y} [\csc (20 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \csc (y)$ und $g (y) = 20 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $20 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d y} [20 x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\csc (u)$ nach $u$ ist $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d y} [20 x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $20 x$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [20 x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ nach $y$ gleich $20 \frac{d}{d y} [x]$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) (20 \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren von $- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$ um.

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ um.

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ durch $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ durch $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ .

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot (20 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (20 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\cot (20 x)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\cot (20 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}$ zu dividieren.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$

Schritt 5.2.3.4

Wandle von $\frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$ nach $\tan (20 x)$ um.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.5

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\csc (20 x)} \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\csc (20 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (20 x)}} \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (20 x)}$ zu dividieren.

$x' = \frac{1}{- 20} (1 \sin (20 x)) \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.8.1

Mutltipliziere $\sin (20 x)$ mit $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{1}{20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.9

Kombiniere $\sin (20 x)$ und $\frac{1}{20}$ .

$x' = - \frac{\sin (20 x)}{20} \tan (20 x)$

Schritt 5.2.3.10

Kombiniere $\tan (20 x)$ und $\frac{\sin (20 x)}{20}$ .

$x' = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$