Analysis Beispiele

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $t = \frac{1}{2}$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 t^{- 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 3}{t^{4}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{t^{4}}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

Schritt 1.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

Schritt 1.4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (3 \cdot 16)$

Schritt 1.4.3

Multipliziere $- (3 \cdot 16)$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$- 1 \cdot 48$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$- 48$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 48$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{2}, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 48$ heraus.

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$y - 8 = - 48 x + 24$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 48 x + 24 + 8$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $24$ und $8$ .

$y = - 48 x + 32$

Schritt 3