Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} (\frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{4}$

Schritt 9.3

Berechne $2 x$ bei $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 9.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.3.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 16) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 16 (\frac{1}{4})) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 16}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 9.4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 4}{1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.7.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 4) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.8

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot 60 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $60$ .

$\frac{60}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $2$ .

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Schritt 9.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$\frac{2 \cdot 30}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{30}{1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.10.2.4

Dividiere $30$ durch $1$ .

$30 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$30 - 3 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$30 - 3 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.12.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$30 - 3 (8 - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.14.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$30 - 3 (8 - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$30 - 3 (8 - 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.16

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$30 - 3 \cdot 6 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.17

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$30 - 18 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.18

Subtrahiere $18$ von $30$ .

$12 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.19

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 + 8 - 2 \cdot 2$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$12 + 8 - 4$

Schritt 9.4.21

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$12 + 4$

Schritt 9.4.22

Addiere $12$ und $4$ .

$16$

Schritt 10