Analysis Beispiele

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{3}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{20} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{20}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $\frac{15}{20}$ und $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $20$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.5

Kombiniere $\frac{12}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.6.2.4

Dividiere $3 x^{3}$ durch $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{3} - 24 x^{2}$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{3} - 24 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 x^{2} (x) - 24 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8)$ heraus.

$3 x^{2} (x - 8) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x^{2} (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{20}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $8$ in $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot {(8)}^{5} - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (8) = \frac{3}{4 (5)} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $32768$ heraus.

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (8) = \frac{3}{5} \cdot 8192 - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $8192$ .

$f (8) = \frac{3 \cdot 8192}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $8192$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 \cdot 4096$

Schritt 4.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4096$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192$

Schritt 4.3.2.2

Um $- 8192$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere $- 8192$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} + \frac{- 8192 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (8) = \frac{24576 - 8192 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 8192$ mit $5$ .

$f (8) = \frac{24576 - 40960}{5}$

Schritt 4.3.2.5.2

Subtrahiere $40960$ von $24576$ .

$f (8) = \frac{- 16384}{5}$

Schritt 4.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (8) = - \frac{16384}{5}$

Schritt 4.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16384}{5}$ .

$- \frac{16384}{5}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $8$ in $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(8, - \frac{16384}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(8, - \frac{16384}{5})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (8, - \frac{16384}{5})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 3 {(- 0.1)}^{3} - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 3 \cdot - 0.001 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 \cdot 0.01$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.24$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $0.24$ von $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.243$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.243$ .

$- 0.243$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.243$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 8)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = 3 {(4)}^{3} - 24 {(4)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f'' (4) = 3 \cdot 64 - 24 {(4)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$f'' (4) = 192 - 24 {(4)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 16$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $16$ .

$f'' (4) = 192 - 384$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $384$ von $192$ .

$f'' (4) = - 192$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 192$ .

$- 192$

Schritt 7.3

Bei $4$ , die zweite Ableitung ist $- 192$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 8)$

Abfallend im Intervall $(0, 8)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8.1$ .

$f'' (8.1) = 3 {(8.1)}^{3} - 24 {(8.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $8.1$ mit $3$ .

$f'' (8.1) = 3 \cdot 531.441 - 24 {(8.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $531.441$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 {(8.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $8.1$ mit $2$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 \cdot 65.61$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $65.61$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 1574.64$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1574.64$ von $1594.323$ .

$f'' (8.1) = 19.683$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $19.683$ .

$19.683$

Schritt 8.3

Bei $8.1$ ist die zweite Ableitung $19.683$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(8, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(8, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(8, - \frac{16384}{5})$ .

$(8, - \frac{16384}{5})$

Schritt 10