Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{3 + 4 x^{2}} (8 x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3 + 4 x^{2}}$ .

$\int \frac{8}{3 + 4 x^{2}} \cdot x d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{8}{3 + 4 x^{2}}$ und $x$ .

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 + 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 + 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$0 + 8 x$

Schritt 3.1.4

Addiere $0$ und $8 x$ .

$8 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Schritt 4.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$