Analysis Beispiele

$x (t) = t^{2} - 4 t$ und $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = t^{2} - 4 t$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $t^{2} - 4 t = x$ um.

$t^{2} - 4 t = x$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} - 4 t - x = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 8.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 10

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Schritt 11

Vereinfache $2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ .

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $- 6$ mit jedem Element der Matrix.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Schritt 11.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 11.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Schritt 11.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Schritt 11.1.2.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Schritt 11.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Schritt 11.2

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 11.2.1

Stelle $- 4$ und $- x$ um.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Schritt 11.2.2

Stelle $- 4$ und $- x$ um.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Schritt 11.2.3

Stelle $- 4$ und $- x$ um.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Schritt 11.2.4

Stelle $- 4$ und $- x$ um.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$