Analysis Beispiele

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $x e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 7.2

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3.5

Addiere $e$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Schritt 7.3.6

Vereinfache.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Schritt 7.3.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Schritt 9.2

Addiere $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Schritt 10.1.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$A (x) = 1$

Schritt 11