Analysis Beispiele

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Dann ist $d u = (2 x + 4) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$2 x + 4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$