Analysis Beispiele

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Schreibe ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ als $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ um.

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 5.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Schritt 5.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Schritt 5.3.4

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ heraus.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Schritt 5.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Schritt 5.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Schritt 5.3.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ heraus.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Schritt 5.3.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ heraus.

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Schritt 5.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$