Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{- 3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{- 3}{4}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2.5

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.3

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 6 (\frac{2}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $\frac{- 12}{3}$ und $x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{5}$ heraus.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 4 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.4.7.2.4

Dividiere $- 4 x^{5}$ durch $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} (4 x^{3})$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4}{2} x^{3}$

Schritt 1.5.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4 x^{3}}{2}$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

Schritt 1.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 x^{3}}{1}$

Schritt 1.5.5.2.4

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Addiere $- \frac{3}{4 x^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 20 x^{4} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{4 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 2.4.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Schritt 2.4.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Schritt 2.4.11

Kombiniere $\frac{12}{4}$ und $x^{- 5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Schritt 2.4.12

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4 x^{5}}$

Schritt 2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.4.13.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Schritt 2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Schritt 2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Schritt 2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$