Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{3} - 15 x = x$

Schritt 1.2

Löse $x^{3} - 15 x = x$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $x$ von $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 16 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ heraus.

$x (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 4$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 1.4.2

Entferne die Klammern.

$y = - 4$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$y = 4$

Schritt 1.5.2

Entferne die Klammern.

$y = 4$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 4$ und $0$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Schritt 3.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Schritt 3.7.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Schritt 3.7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.3

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.4

Mutltipliziere $256$ mit $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.5

Kombiniere $- 256$ und $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 256$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 256$ heraus.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.4

Dividiere $- 64$ durch $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.10

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Schritt 3.7.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Schritt 3.7.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Schritt 3.7.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Schritt 3.7.2.3.13

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Schritt 3.7.2.3.14

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$- 64 + 128$

Schritt 3.7.2.3.15

Addiere $- 64$ und $128$ .

$64$

Schritt 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $4$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Schritt 5.3

Addiere $x$ und $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Schritt 5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Schritt 5.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Schritt 5.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Schritt 5.8

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Schritt 5.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.10.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $4$ und $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.10.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.2.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.6

Addiere $64$ und $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.9.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.10.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 5.10.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.10.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.10.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.10.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 5.10.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Schritt 5.10.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Schritt 5.10.2.3.13

Addiere $8$ und $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Schritt 5.10.2.3.14

Mutltipliziere $16$ mit $8$ .

$- 64 + 128$

Schritt 5.10.2.3.15

Addiere $- 64$ und $128$ .

$64$

Schritt 6

Addiere $64$ und $64$ .

$128$

Schritt 7