Analysis Beispiele

$\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$9 \int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$9 \int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int u^{- 4} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ als $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ um.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Schritt 7.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{9}{2 (3 u^{3})} + C$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{9}{6 u^{3}} + C$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{3 (3)}{6 u^{3}} + C$

Schritt 7.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 u^{3}$ heraus.

$- \frac{3 (3)}{3 (2 u^{3})} + C$

Schritt 7.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{3})} + C$

Schritt 7.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2 u^{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{3}} + C$