Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} d x \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Schritt 1

Berechne $\int_{2}^{4} d x$ .

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Schritt 1.1

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{2}^{4} \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Schritt 1.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Berechne $x$ bei $4$ und $2$ .

$((4) - 2) \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2 \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Schritt 2

Berechne $\int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3 x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{3 x}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3 x} \int_{x}^{2 x} y d y)$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{2 x})$

Schritt 2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x})$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}$ .

$2 \frac{\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}}{3 x}$

Schritt 2.3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $2 x$ und $x$ .

$2 \frac{(\frac{{(2 x)}^{2}}{2}) - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{\frac{{(2 (x))}^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$2 \frac{\frac{2^{2} x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{\frac{2 x^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.4.2.4

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$2 \frac{2 x^{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.5

Um $2 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.6

Kombiniere $2 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2} - x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.9

Subtrahiere $x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$

Schritt 2.3.2.2.10

Schreibe $\frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$ als ein Produkt um.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3 x})$

Schritt 2.3.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (3 x)}$

Schritt 2.3.2.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{6 x}$

Schritt 2.3.2.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.3.2.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$2 \frac{3 (x^{2})}{6 x}$

Schritt 2.3.2.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$2 \frac{3 (x^{2})}{3 (2 x)}$

Schritt 2.3.2.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 x^{2}}{3 (2 x)}$

Schritt 2.3.2.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{x^{2}}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.2.2.14.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$2 \frac{x \cdot x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.14.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{x}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$2 (\frac{1}{2} x)$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$2 \frac{x}{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$