Analysis Beispiele

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Schritt 5

Sei $u = y + 9$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = y + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 5.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 9$ ein.

$u_{lower} = - 8 + 9$

Schritt 5.3

Addiere $- 8$ und $9$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 9$ ein.

$u_{upper} = 0 + 9$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $9$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $0$ und $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $2$ .

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Schritt 8.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6.2.4

Dividiere $- 32$ durch $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.7

Subtrahiere $32$ von $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $8$ .

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Schritt 8.3.9.1

Faktorisiere $8$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.9.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.13

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.14

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 8.3.16.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 8.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.19

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.20

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 8.3.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.22.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Schritt 8.3.22.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Schritt 8.3.23

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Schritt 8.3.24

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Schritt 8.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Schritt 8.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.26.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Schritt 8.3.26.2

Addiere $- 12$ und $52$ .

$\frac{40}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40}{3}$

Dezimalform:

$13.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$13 \frac{1}{3}$

Schritt 10