Analysis Beispiele

$\int \frac{9 x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 7 - 3 x^{3}$ . Dann ist $d u = - 9 x^{2} d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 7 - 3 x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $7 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $0$ .

$- 9 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{9}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$9 \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 9} d u$

Schritt 3.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int - \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$9 (- \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$- 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $7 - 3 x^{3}$ .

$- 2 {(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$