Analysis Beispiele

$x^{y} = e^{x - y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = y$ ist.

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ um.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ um.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5.2

Vereinfache $e^{x - y} (1 - y')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $e^{x - y}$ mit $1$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Schritt 5.2.2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ um.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Schritt 5.3

Addiere $y' e^{x - y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $y x^{y - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{y} \ln (x)$ heraus.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x - y}$ heraus.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ heraus.

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ durch $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ durch $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$