Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 4

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ durch $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Schritt 4.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 4.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 4.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 4.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 2 x + 1$

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 4.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Schritt 4.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 11

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 11.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 11.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 11.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 11.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 11.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 11.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 11.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 11.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 11.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 11.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 11.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 11.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 11.1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 11.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 11.1.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(B) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 11.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 11.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 11.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Schritt 11.1.6.2.2.4

Dividiere $B (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Schritt 11.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Schritt 11.1.6.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A + B x + B$

Schritt 11.1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$1 = B x + A + B$

Schritt 11.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 11.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B$

Schritt 11.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 11.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Schritt 11.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 11.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$1 = A + B$

Schritt 11.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $1 = A + B$ durch $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Schritt 11.3.2.2

Vereinfache $1 = A + 0$ .

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Schritt 11.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Schritt 11.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.2.2.2.1

Addiere $A$ und $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Schritt 11.3.3

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 11.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 1 B = 0$

Schritt 11.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 0$

Schritt 11.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Dividiere $0$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Schritt 11.5.2

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 12

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 12.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 13

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 13.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 13.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$