Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (5)}$ und $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{\ln (5)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (5)}$ aus dem Integral.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Schritt 4

Das Integral von $5^{x}$ nach $x$ ist $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.7

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.10

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.11

Schreibe $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ als ein Produkt um.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Schritt 5.2.3.12

Mutltipliziere $\frac{4}{\ln (5)}$ mit $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Schritt 5.2.3.13

Potenziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Schritt 5.2.3.14

Potenziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Schritt 5.2.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Dezimalform:

$1.56244626 \dots$

Schritt 7