Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ , $(1, - 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 6 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$3 - 6$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$- 3$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 3$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 4) = - 3 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 3 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 4 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y + 4 = - 3 x + 3$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3 x + 3 - 4$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$y = - 3 x - 1$

Schritt 3