Analysis Beispiele

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = x + 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u - 6) u^{2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Schritt 6

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$