Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arccos (x)$ und $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Schritt 2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ mit $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 5.5.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 9.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\arccos (x) x$ bei $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Schritt 11.2

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $\frac{3}{4}$ und $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\arccos (\frac{1}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.3.4

Addiere $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ und $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Schritt 11.3.7

Um $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.3.8

Kombiniere $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Schritt 11.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 11.3.12.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.2.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Schritt 12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Schritt 12.1.5

Um $- 3^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.6

Kombiniere $- 3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8

Multipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.8.1

Bewege $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.1.8.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.8.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Schritt 12.1.9

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Schritt 12.1.10

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Schritt 12.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Schritt 12.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Schritt 12.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.3

Multipliziere $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Dezimalform:

$0.65757337 \dots$