Analysis Beispiele

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + \frac{b}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Schritt 2.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

Schritt 2.4

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{b}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Schritt 2.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Schritt 2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{b}{x^{3}}$ und $- 6$ .

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ und ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ .

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Um $a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ an.

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Kombiniere $6$ und $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.4.2

Kombiniere $b$ und $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.5

Entferne unnötige Klammern.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.7

Bringe $6$ auf die linke Seite von $b$ .

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 3.5

Kombinieren.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

Schritt 3.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

Schritt 3.6.2

Addiere $4$ und $3$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$