Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.5

Vereinfache.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.10

Bewege $2$ .

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$