Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.2.1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 1.2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.7.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.7.3.2

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte