Analysis Beispiele

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 x + 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{u}{4}$ mit $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 4.7

Kombiniere $- \frac{3}{4}$ und $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{3}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{16}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 3$ .

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$