Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 1.3.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 1.3.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.6

Addiere $e^{x} - e^{- x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.9.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 3.9.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 3.9.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 3.9.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 3.9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Schritt 3.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Schritt 3.9.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Schritt 3.9.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Schritt 3.10

Addiere $0$ und $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 \sin (2 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 5.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 5.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.4.8

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x)}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 6.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 6.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 6.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (0)}$

Schritt 8.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{1}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{1}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$