Analysis Beispiele

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 15.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 15.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 16

Kombiniere $4$ und $\frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.2

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.6

Multipliziere $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

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Schritt 17.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.6.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.3.2

Subtrahiere $8 x^{\frac{3}{2}}$ von $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 17.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.3

Multipliziere $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 17.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.4

Um $3 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.6

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.4.6.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.6.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.4.6.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 17.8

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ mit $\frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2)}^{2}}$