Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$