Analysis Beispiele

$1 - \arctan (e^{t})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \arctan (e^{t})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \arctan (e^{t})$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \arctan (t)$ und $g (t) = e^{t}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{t}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{t}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ und $e^{t}$ .

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

Schritt 3

Subtrahiere $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ von $0$ .

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$