Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $\frac{5}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{7} x$ nach $x$ gleich $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $1$ .

$\frac{5}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{10} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{7} - 6 (\frac{1}{10}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{- 6}{10}$ und $x^{5}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{7} + \frac{- 3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{- 1}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.4.4

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{10} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

Schritt 1.5.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

Schritt 1.5.5

Kombiniere $\frac{- 5}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

Schritt 1.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

Schritt 1.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

Schritt 1.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

Schritt 1.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- x^{4}}{2}$

Schritt 1.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{x^{4}}{2}$

Schritt 1.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- \frac{3}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 15}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{4}$ durch $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{- 4}{2}$ und $x^{3}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x^{4} + \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.3.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{6}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.11

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.12

Kombiniere $\frac{2}{6}$ und $x^{- 3}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 x^{- 3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.13

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Da $\frac{5}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{7}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 3.4.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 3.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 3.4.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Schritt 3.4.9

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Schritt 3.4.10

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3 x^{4}}$

Schritt 3.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Schritt 3.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Schritt 3.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Schritt 3.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 1}{x^{4}}$

Schritt 3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$