Analysis Beispiele

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 3 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2} y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

Schritt 3.6.3

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $4 x^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 x^{2} y'$ heraus.

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ heraus.

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.4

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.5

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.6

Stelle $- {(3 y)}^{2}$ und ${(2 x)}^{2}$ um.

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.8

Faktorisiere.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ durch $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ durch $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3 y$ .

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Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3 y$ .

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Schritt 5.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 5.9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$