Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{2} (3 u - 2) (u + 1) d u$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{2} 3 u (u + 1) - 2 (u + 1) d u$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 (u + 1) d u$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.4

Bewege $u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u \cdot u + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.5

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.6

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{1 + 1} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 \cdot 1 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 \cdot 1 d u$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + 3 u - 2 u - 2 d u$

Schritt 1.11

Subtrahiere $2 u$ von $3 u$ .

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} + u - 2 d u$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{2} 3 u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} u d u + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 2 d u$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2} + - 2 u]_{- 1}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{2}$ und $- 2 u]_{- 1}^{2}$ .

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $2$ und $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} u^{2} - 2 u]_{- 1}^{2}$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{1}{2} u^{2} - 2 u$ bei $2$ und $- 1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$3 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{8 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.7

Addiere $8$ und $1$ .

$3 (\frac{9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \frac{3 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{3}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \cdot 3 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$9 + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$9 + \frac{4}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 + \frac{2}{1} - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.12.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$9 + 2 - 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$9 + 2 - 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.14

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot - 1)$

Schritt 8.2.3.17

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2)$

Schritt 8.2.3.18

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 8.2.3.19

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 - (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 8.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 - 2 - \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.21.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 - 2 - \frac{1 + 4}{2}$

Schritt 8.2.3.21.2

Addiere $1$ und $4$ .

$9 - 2 - \frac{5}{2}$

Schritt 8.2.3.22

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 8.2.3.23

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 8.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 + \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Schritt 8.2.3.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.25.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$9 + \frac{- 4 - 5}{2}$

Schritt 8.2.3.25.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$9 + \frac{- 9}{2}$

Schritt 8.2.3.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 - \frac{9}{2}$

Schritt 8.2.3.27

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 8.2.3.28

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 8.2.3.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \cdot 2 - 9}{2}$

Schritt 8.2.3.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.30.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{18 - 9}{2}$

Schritt 8.2.3.30.2

Subtrahiere $9$ von $18$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{1}{2}$

Schritt 10