Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

Schritt 7

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 7.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$u_{upper} = 25$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $5$ und $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $25$ und $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 11.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.3.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.8.2

Addiere $125$ und $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $5$ und $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Schritt 11.3.11

Um $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.3.12

Kombiniere $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Schritt 11.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Schritt 11.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Schritt 11.3.15

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Schritt 11.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Dezimalform:

$- 14400979614.1438$

Schritt 13