Analysis Beispiele

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{i}{n}$ an.

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Schritt 1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Schritt 1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Schritt 2

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $n$ aus $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ heraus.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ und $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 4.4

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Schritt 4.7.2

Schreibe $n^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.7.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Schritt 4.7.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n$ und $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$