Analysis Beispiele

$\ln (2 e^{t} - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{t} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{t}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2 e^{t}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ und $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$