Analysis Beispiele

$y^{3} x^{5} = e^{3 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y^{3} x^{5}) = \frac{d}{d y} (e^{3 x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x^{5}$ .

$y^{3} \frac{d}{d y} [x^{5}] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{5}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$y^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$y^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$y^{3} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$5 \cdot y^{3} x^{4} \frac{d}{d y} [x] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} (3 y^{2})$

Schritt 2.6

Stelle um.

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Schritt 2.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + 3 \cdot x^{5} y^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 3 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [3 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d y} [3 x]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{3 x} (3 x')$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $e^{3 x} (3 x')$ um.

$3 e^{3 x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 e^{3 x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $3 e^{3 x} x'$ um.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 x' e^{3 x}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x' e^{3 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} - 3 x' e^{3 x} = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3 x^{5} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x'$ aus $5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $5 x^{4} y^{3} x'$ heraus.

$x' (5 x^{4} y^{3}) - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 3 x' e^{3 x}$ heraus.

$x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x})$ heraus.

$x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ durch $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ durch $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$