Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3} + x^{2} - 1}{2 x^{3} + 7 x - 8}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{10 + 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 + 0 - 0$ und $2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0$ .

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Schritt 9.1.1

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{- 1 (- 10) + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 0$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.7

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 7$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 2 (0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (0 \cdot 7)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

Schritt 9.1.8.4

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)}$

Schritt 9.1.8.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Schritt 9.1.8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

Schritt 9.1.8.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 5 + 0$ und $0$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 5$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $7$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 - 4 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 + 0}$

Schritt 9.3.3

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0}$

Schritt 9.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{5}{1}$

Schritt 9.5

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$