Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{5} [4 y - (y^{2} - 5)] d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{5} 4 y - (y^{2} - 5) d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{5} 4 y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 1}^{5} y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Schritt 6

Multipliziere $- (y^{2} - 5)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} - - 5 d y$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} + 5 d y$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - \int_{- 1}^{5} y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $5$ und $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $5$ und $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Schritt 13.3

Berechne $5 y$ bei $5$ und $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{25 - 1}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.4

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 13.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{12}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$4 \cdot 12 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$48 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$48 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$48 - \frac{125 + 1}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.13

Addiere $125$ und $1$ .

$48 - \frac{126}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $126$ und $3$ .

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Schritt 13.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $126$ heraus.

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$48 - \frac{42}{1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14.2.4

Dividiere $42$ durch $1$ .

$48 - 1 \cdot 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $42$ .

$48 - 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.16

Subtrahiere $42$ von $48$ .

$6 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.17

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$6 + 25 - 5 \cdot - 1$

Schritt 13.4.18

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$6 + 25 + 5$

Schritt 13.4.19

Addiere $25$ und $5$ .

$6 + 30$

Schritt 13.4.20

Addiere $6$ und $30$ .

$36$

Schritt 14