Analysis Beispiele

$6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$

Schritt 1

Schreibe $6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$ als Funktion.

$f (x) = 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 \sqrt{x} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \sqrt{x} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int \sqrt[6]{x} d x$

Schritt 9

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{x}$ als $x^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{6}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{6}}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 11.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$