Analysis Beispiele

$- 4 x^{2} + 3 - y + x = y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 3 - y + x) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} + 3 - y + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 x + 0 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 8 x + 0 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 8 x + 0 - y' + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 x + 0 - y' + 1$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$- 8 x - y' + 1$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- 8 x + 1 - y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 8 x + 1 - y' = 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x + 1 - y' - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $8 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 - y' - 3 y^{2} y' = 8 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ durch $- 1 - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ durch $- 1 - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - (3 y^{2})}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1 + 3 y^{2})}$

Schritt 5.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$