Analysis Beispiele

$\frac{x}{1 - x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{1 - x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 4

Stelle $1$ und $- x$ um.

$\int \frac{x}{- x + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x$ durch $- x + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 8

Sei $u = - x + 1$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- x + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$- x - \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$- x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ .

$F (x) =$ $- x - \ln (| - x + 1 |) + C$