Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - x^{3}}{4 x^{5} + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{5}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3}}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{5}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{5}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + 0}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \cdot 0 - 0$ und $4 + 0$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cdot 0$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - 0}{4 + 0}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 0$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - (0)}{4 + 0}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \cdot 0) - (0)$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- (- 2 \cdot 0 + 0)$ als $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ um.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $4$ aus $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ heraus.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 + 0}$

Schritt 7.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 (1) + 0}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ heraus.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 7.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Schritt 7.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{1 + 0}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 1 (0 + 0)}{1 + 0}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 0}$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 7.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$