Analysis Beispiele

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Schritt 3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Schritt 7

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - - 5$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 1$ und $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.4

Subtrahiere $25$ von $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 11.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.5.2.4

Dividiere $- 12$ durch $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Dezimalform:

$652.18111864 \dots$

Schritt 14