Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $5$ von ${(5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} 5 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x + 2)}^{5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

${(lim_{x \to 0} 5 x^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(5 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 3 x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}^{5}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

${(5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} + 7 lim_{x \to 0} x + 2)}^{5}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

${(5 \cdot 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(5 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

${(0 - 3 \cdot 0^{3} + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

${(0 + 0 + 7 \cdot 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

${(0 + 0 + 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.2

Addiere $0$ und $0$ .

${(0 + 0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.3

Addiere $0$ und $0$ .

${(0 + 2)}^{5}$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2^{5}$

Schritt 10.5

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32$