Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $f (x)$ $\frac{d f}{d x}$ ist.

$\frac{d f}{d x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ um.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ um.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $y e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ durch $x e^{x y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ durch $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kombinieren.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.4

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.5.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$