Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Schritt 1.3.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Schritt 1.3.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Schritt 1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

Schritt 1.3.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (3 x + 4)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 4$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x + 4}$ und $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.10

Addiere $3$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{3}{3 x + 4}$ und $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.13

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \tan (2 x + 2)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x + 2$ .

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Schritt 3.14.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Schritt 3.14.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Schritt 3.14.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Schritt 3.15

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Schritt 3.16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Schritt 3.17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Schritt 3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Schritt 3.19

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

Schritt 3.20

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

Schritt 3.21

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

Schritt 3.22

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{9}{3 x + 4}$ mit $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (2 x + 2)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

Schritt 14

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Schritt 15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Schritt 16

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Schritt 17

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Schritt 18

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 18.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Schritt 18.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Schritt 19

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 19.1

Kombinieren.

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Schritt 19.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.3.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Schritt 19.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Schritt 19.3.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Schritt 19.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

Schritt 19.3.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

Schritt 19.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

Schritt 19.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 19.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2}$