Analysis Beispiele

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 - 5 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $e^{- 2 + 5 x}$ mit $1$ .

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - 2 + 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 2 + 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 2 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 5.1.2.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$0 + 5$

Schritt 5.1.4

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- 2 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$