Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{5} {(x - 5)}^{2} - 2$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot ((x - 5) (x - 5)) - 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 2$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 2$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 2$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 10 x + 25) - 2$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{5}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10 x$ heraus.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (- 2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 - 2$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) - 2$

Schritt 1.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - 2$

Schritt 1.5.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 1 \cdot 5 - 2$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 5 - 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 7$

Schritt 3

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{2}{2 (- 0.2)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 0.2}$

Schritt 4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{- 0.2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Dividiere $1$ durch $- 0.2$ .

$x = - - 5$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = 5$

Schritt 5

Berechne $f (5)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{5} + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(5)}^{2}$ und $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus ${(5)}^{2}$ heraus.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5} + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 (1)} + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 1} + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (5) = - \frac{5}{1} + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.1.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 5 + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = - 5 + 2 (5) - 7$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (5) = - 5 + 10 - 7$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f (5) = 5 - 7$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$f (5) = - 2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(5, - 2)$

Schritt 7