Analysis Beispiele

$3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$9 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$9 x^{2} - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 x^{2} - (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$9 x^{2} - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 12 y^{2} y'$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Schritt 2.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 (x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3}$ und $0$ .

$9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 12 y^{2} y'$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 5.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ durch $3 y^{2} (- x - 4)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ durch $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 4$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} (- x - 4)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} (- x - 4)$ heraus.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$