Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Stelle $\tan (x)$ und $4 \cos (x)$ um.

$\int 4 \cos (x) \tan (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.2.2

Füge Klammern hinzu.

$\int 4 (\cos (x) \tan (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.2.3

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\int 4 (\tan (x) \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\tan (x) (4 \cos (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int 4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int 4 \sin (x) + \tan (x) (8 \sec (x)) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int 4 \sin (x) + 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sin (x) d x + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$4 (- \cos (x) + C) + \int 8 \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$4 (- \cos (x) + C) + 8 \int \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\tan (x) \sec (x)$ ist, ist das Integral von $\tan (x) \sec (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$4 (- \cos (x) + C) + 8 (\sec (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan (x) (4 \cos (x) + 8 \sec (x))$ .

$F (x) =$ $- 4 \cos (x) + 8 \sec (x) + C$